Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

   Решение

---

Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что  PAK = MAQ.

   Решение

---

На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

   Решение

---

В коробке лежит 300 спичек. За ход разрешается взять из коробка не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

---

Найдите геометрическое место таких точек X, что касательные, проведенные из X к данной окружности, имеют данную длину.

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57068

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57074

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 3+ Классы: 9

В правильном n-угольнике  (n ≥ 3)  отмечены середины всех сторон и диагоналей.
Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55373

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Центр масс ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Пусть О – центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n,  X – произвольная точка плоскости. Докажите, что:
   a)  

   б)   

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57069

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9

На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57072

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В правильном восемнадцатиугольнике A₀...A₁₇ проведены диагонали A₀A_p+3, A_p+1A_18–r и A₁A_p+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
  а)  {p, q, r} = {1, 3, 4},
  б)  {p, q, r} = {2, 2, 3}.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями