Задача 57069

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9

Условие

На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.

Решение

  Треугольник BMC равнобедренный с углом при вершине 30° и углом при основании 75°. Следовательно, треугольники BAM и BCN равнобедренные с углом 15° при основании. Поэтому треугольник BMN правильный. Пусть O – центр квадрата, P и Q – середины отрезков MN и BK (см. рис.). Так как OQ – средняя линия треугольника MBK, то  OQ = ¹/₂ BM = MP = OP  и   ∠QON = ∠MBA = 15°,  а значит,  ∠POQ = ∠PON – ∠QON = 30°.
  Дальнейшее доказательство проводится аналогично.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.056