Версия для печати
Убрать все задачи

---

  На доске написаны три функции:  f₁(x) = x + ¹/_x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f₁,  f₂,  f₃, то получить ¹/_x невозможно.

   Решение

---

В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.

   Решение

---

Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берёт m или n камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть m и n?

   Решение

---

Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ в точках A₁ и A₂.
Докажите, что прямая A₁A₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56902

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Касающиеся окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ в точках A₁ и A₂.
Докажите, что прямая A₁A₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56898

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56899

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

а) В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних углов AA₁, BB₁ и CC₁ (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁ и биссектриса внешнего угла CC₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56900

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

Касательные к описанной окружности неравнобедренного треугольника ABC в точках A, B и C пересекают продолжения сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.=-1

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56901

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

Решите задачу 5.85, а) с помощью теоремы Менелая.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями