ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56898
Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

$\displaystyle {\frac{\overline{BA_1}}{\overline{CA_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{CB_1}}{\overline{AB_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{AC_1}}{\overline{BC_1}}}$ = 1        (теорема Менелая).



Решение

Пусть при проекции на прямую, перпендикулярную прямой A1B1, точки A, B и C переходят в A', B' и C', точка C1 — в Q, а две точки A1 и B1 — в одну точку P. Так как $ \overline{A_1B}$ : $ \overline{A_1C}$ = $ \overline{PB'}$ : $ \overline{PC'}$,$ \overline{B_1C}$ : $ \overline{B_1A}$ = $ \overline{PC'}$ : $ \overline{PA'}$ и $ \overline{C_1A}$ : $ \overline{C_1B}$ = $ \overline{QA'}$ : $ \overline{QB'}$, то $ {\frac{\overline{A_1B}}{\overline{A_1C}}}$ . $ {\frac{\overline{B_1C}}{\overline{B_1A}}}$ . $ {\frac{\overline{C_1A}}{\overline{C_1B}}}$ = $ {\frac{\overline{PB'}}{\overline{PC'}}}$ . $ {\frac{\overline{PC'}}{\overline{PA'}}}$ . $ {\frac{\overline{QA'}}{\overline{QB'}}}$ = $ {\frac{\overline{PB'}}{\overline{PA'}}}$ . $ {\frac{\overline{QA'}}{\overline{QB'}}}$ = $ {\frac{b'}{a'}}$ . $ {\frac{a'+x}{b'+x}}$, где | x| = PQ. Равенство  $ {\frac{b'}{a'}}$ . $ {\frac{a'+x}{b'+x}}$ = 1 эквивалентно тому, что x = 0 (нужно учесть, что a'$ \ne$b', так как A'$ \ne$B'). А равенство x = 0 означает, что P = Q, т. е. точка C1 лежит на прямой A1B1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 7
Название Теорема Менелая
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.058

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .