В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля?

   Решение

Последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, ..., a_n, ...  такова, что для каждого n уравнение  a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
  а) равным 10;
  б) бесконечным?

   Решение

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

   Решение

Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB. Окружность S₁ касается отрезка CA в точке E, а также отрезка CD и окружности S. Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S₁ касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N. Докажите, что:
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S₁ равна PA.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.

Прислать комментарий

Решение

Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB. Окружность S₁ касается отрезка CA в точке E, а также отрезка CD и окружности S. Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC.

Прислать комментарий

Решение

На диаметре AB окружности S взята точка K и из нее восставлен перпендикуляр, пересекающий S в точке L. Окружности S_A и S_B касаются окружности S, отрезка LK и диаметра AB, а именно, S_A касается отрезка AK в точке A₁, S_B касается отрезка BK в точке B₁. Докажите, что A₁LB₁ = 45^o.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]