Задача 56701

Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной для данного сегмента дуги AB.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры вписанных окружностей, CP и CQ — касательные к ним. Тогда  CO₁² = CP² + PO₁² = CP² + O₁M² и, так как CQ = CA = CP (задача 3.42, б)),  CO₂² = CQ² + QO₂² = CP² + O₂M². Следовательно,  CO₁² - CO₂² = MO₁² - MO₂², а значит, прямая CM перпендикулярна O₁O₂ (см. задачу 7.6). Поэтому прямая MN проходит через точку C.
Замечание. Если окружности не пересекаются, а касаются, утверждение остается верным; в этом случае прямую MN нужно заменить на касательную к окружностям в их общей точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	8
Название	Окружности, вписанные в сегмент
Тема	Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер	03.044