Условие
Окружность, касающаяся сторон
AC и
BC
треугольника
ABC в точках
M и
N, касается также его описанной
окружности (внутренним образом). Докажите, что середина
отрезка
MN совпадает с центром вписанной окружности
треугольника
ABC.
Решение
Пусть
A1 и
B1 — середины дуг
BC и
AC;
O — центр вписанной окружности. Тогда
A1B1 
CO (см. задачу
2.19, а) и
MN CO, а значит,
MN ||
A1B1. Будем
перемещать точки
M' и
N' по лучам
CA и
CB так,
что
M'N' ||
A1B1. Лишь при одном положении точек
M' и
N'
точка
L, в которой пересекаются прямые
B1M' и
A1N', попадает на
описанную окружность треугольника
ABC. С другой стороны, если
отрезок
MN проходит через точку
O, точка
L попадает на эту
окружность (см. задачу
2.49).
Источники и прецеденты использования
