Один путник шел первые полпути со скоростью 4 км/ч, а вторые полпути со скоростью 6 км/ч. Другой путник шел первую половину времени со скоростью со скоростью 4км/ч, а вторую половину времени со скоростью 6 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на свое путешествие то же самое время?

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH (на рисунке приведена схема соединения рёбер)?

Три косца за три дня скосили траву с трёх гектаров. С какой площади скосят траву пять косцов за пять дней?

Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 86]      

Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.

Решение

Пусть $O$ – центр данной окружности. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания, значит, точка касания лежит на окружности, построенной на $OA$ как на диаметре. Поскольку такая окружность проходит через $O$, она пересекает данную окружность в двух точках; совокупность двух окружностей симметрична относительно их линии центров, значит, при симметрии одна касательная перейдёт во вторую (и наоборот)   следовательно, длины отрезков таких касательных равны.

Прислать комментарий

Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

Решение

По теореме о квадрате касательной квадрат каждого из отрезков касательных, проведённых из точки $X$ к данным окружностям, равен $XA \cdot XB$.

Прислать комментарий

Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.

Решение

См. решение задачи 52700.

Ответ

2.

Прислать комментарий

Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

Решение

Опустим из центра окружности радиусы к точкам касания с катетами (или с их продолжениями). Точки касания вместе с центром окружности и вершиной при прямом угле треугольника образуют квадрат (четырёхугольник с тремя углами по $90^\circ$ и равными соседними сторонами-радиусами) со стороной, равной радиусу окружности.

а) Катеты делятся точками касания на два отрезка длин $r$, $a-r$ и $r$, $b-r$, значит, в силу равенства отрезков касательных, гипотенуза $c = (a-r) + (b-r)$, откуда $r = \frac{a+b-c}{2}$.

б) Отрезки от вершин острых углов треугольника до точек касания окружности с продолжением соответствующего катета равны $r-a$ и $r-b$. Значит, в силу равенства отрезков касательных, гипотенуза $c = (r-a) + (r-b)$, откуда $r = \frac{a+b+c}{2}$.

Прислать комментарий

Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

Решение

Пусть прямая XY касается данной окружности в точке Z. Соответственные стороны треугольников XOA и XOZ равны, поэтому  XOA = XOZ. Аналогично  ZOY = BOY. Следовательно,  XOY = XOZ + ZOY = (AOZ + ZOB)/2 = AOB/2.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 86]