Версия для печати
Убрать все задачи

---

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

   Решение

---

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

   Решение

---

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках K₁ и K₂, а другая — в точках L₁ и L₂. Докажите, что прямая K₁L₂ высекает на этих двух окружностях равные хорды.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58097  (#М21)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55483  (#М22а)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:

а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;

б) BM = CK;

в) BC = PL.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53132  (#М22б)

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках K₁ и K₂, а другая — в точках L₁ и L₂. Докажите, что прямая K₁L₂ высекает на этих двух окружностях равные хорды.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73558  (#М23)

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Для любого натурального числа n, большего единицы, квадрат отношения произведения первых n нечётных чисел к произведению первых n чётных чисел больше числа ¹/_4n, но меньше числа ³/_8n. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78214  (#М24)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Индукция (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями