Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
  для простоты шестёренки считаются кругами;
  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

   Решение

---

Решите в положительных числах систему уравнений

   

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109538  (#93.4.10.3)

Тема:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Решите в положительных числах систему уравнений

   

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109539  (#93.4.10.4)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Необычные конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

У каждого из жителей города N знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109547  (#93.4.10.5)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что уравнение  x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1)  не имеет решений в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109540  (#93.4.10.6)

Темы:   [ Иррациональные неравенства ] [ Индукция (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108232  (#93.4.10.7)

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F , разбивая его на две части. Докажите, что эти две части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K , определяемая условиями EK || AD , FK || AB , лежит на отрезке MN .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями