Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.

   Решение

---

Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом p является простым числом.

   Решение

---

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K, M и P. Докажите, что     где Q – центр вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97817

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

a₁, a₂, a₃, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_ak = 3k  для любого k.
Найти   а)  a₁₀₀;   б)  a₁₉₈₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97827

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на несколько подобных ему треугольников, так чтобы любые два из них были различны по размерам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97828

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Индукция (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108605

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Векторы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K, M и P. Докажите, что     где Q – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97832

Темы:   [ Непрерывные функции (общие свойства) ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями