Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а n — вне ее.

   Решение

---

У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?

   Решение

---

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC – точки E и M, причём  DA + AE = KC + CM = AB.
Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60°.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109927  (#97.4.8.1)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109923  (#97.4.8.2)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108175  (#97.4.8.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC – точки E и M, причём  DA + AE = KC + CM = AB.
Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109930  (#97.4.8.4)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На предприятии трудятся 50000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчинённых равна 7. В понедельник каждый работник предприятия издаёт приказ и выдаёт копию этого приказа каждому своему непосредственному подчинённому (если такие есть). Далее, каждый день работник берёт все полученные им в предыдущий день приказы и либо раздаёт их копии всем своим непосредственным подчинённым, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не менее 97 начальников, над которыми нет начальников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108176  (#97.4.8.5)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Покрытия ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями