ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109923
Темы:    [ Раскладки и разбиения ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.


Решение

  а) Занумеруем яблоки в порядке неубывания весов и положим в k-й пакет яблоки с номерами k и 301–k. Для любых двух пакетов получаем, что в одном из них – яблоки с весами a и d, в другом – с весами b и c, где  a ≤ b ≤ c ≤ d.  Имеем:  a + d ≤ b + 2b ≤ 1,5c + 1,5b  и   b + c ≤ 2a + d ≤ 1,5a + 1,5d,  что и требовалось.

  б) Разобьём яблоки на пары, как в а). Аналогичная оценка показывает, что теперь веса пар различаются не более чем в 2 раза:  a + d ≤ 4a ≤ 2b + 2c,
b + c
≤ 3a + d ≤ 2a + 2d.  Проведём с парами яблок ту же процедуру. Согласно а) веса полученных четвёрок яблок различаются не более чем в 1,5 раза.

Замечания

Пункт а) предлагался на Всероссийской олимпиаде для 8 классов, а пункт б) – для 9-х.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 97.4.9.3
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 97.4.8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .