Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральное число $k$ назовём интересным, если произведение первых $k$ простых чисел делится на $k$ (например, произведение первых двух простых чисел – это  2·3 = 6,  и 2 – число интересное).
Какое наибольшее количество интересных чисел может идти подряд?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73831  (#М296)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В таблицу n×n записаны n² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78839  (#М298)

Темы:   [ Ряд Фарея ] [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Индукция (прочее) ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть ^a/_b и ^c/_d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73834  (#М299)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Метод спуска ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10

При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?
(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями