В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

   Решение

Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, a₄, ... есть числа  
Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC равна  cos.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а)  + + = 1;
б)  ^{. .} = 1.

Прислать комментарий

Решение

Даны (2n - 1)-угольник  A₁...A_{2n - 1} и точка O. Прямые A_kO и  A_{n + k - 1}A_{n + k} пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений  A_{n + k - 1}B_k/A_{n + k}B_k(k = 1,..., n) равно 1.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый многоугольник  A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ — точки B₂ и D₃ и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы  A₁B₁C₁D₁,..., A_nB_nC_nD_n, то прямые  A₁C₁,..., A_nC_n пересекутся в одной точке O. Докажите, что A₁B₁ ^. A₂B₂ ^. ... ^. A_nB_n = A₁D₁ ^. A₂D₂ ^. ... ^. A_nD_n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]