Версия для печати
Убрать все задачи

---

На клетчатой бумаге был нарисован лабиринт: квадрат 5×5 (внешняя стена) с выходом шириной в одну клетку, а также внутренние стенки, идущие по линиям сетки. На рисунке мы скрыли от вас все внутренние стенки. Начертите, как они могли располагаться, зная, что числа, стоящие в клетках, показывают наименьшее количество шагов, за которое можно было покинуть лабиринт, стартовав из этой клетки (шаг делается в соседнюю по стороне клетку, если они не разделены стенкой). Достаточно одного примера, пояснения не нужны.

   Решение

---

Дан треугольник АВС. Точка О₁ – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О₂ и О₃ являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО₁, ВО₂ и СО₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61492  (#11.065)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Вычислите суммы:
  а)  

  б)  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61493  (#11.066)

Темы:   [ Производящие функции ] [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения  x₁ + ... + x_k = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
  б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61493  (#11.067)

Темы:   [ Производящие функции ] [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения  x₁ + ... + x_k = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
  б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61495  (#11.068)

Темы:   [ Формальные степенные ряды ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Докажите тождество:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61496  (#11.069)  [Бином Ньютона для отрицательных показателей]

Тема:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства

  а)  

  б)  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями