ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116182
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.


Решение

  Опустим перпендикуляр из точки О1 на сторону ВС (см. рис.). Основание этого перпендикуляра – точка А0 – является серединой стороны ВС.
  Продолжим отрезок АО1 до пересечения со стороной ВС в точке А1. О1 – середина отрезка АА1.
  Проведём в треугольнике АВС высоту АА2. Так как  О1А0 || АА2,  то точка А0 является серединой отрезка А1А2. Таким образом, точки А1 и А2 симметричны относительно точки А0, значит  СА1 = BA2  и  1 = CA2.

  Рассмотрев аналогичным образом прямые ВО2 и СО3, получим, что  CB1 = AB2AB1 = CB21 = BC2  и  1 = AC2,  где В1 и C1 – точки пересечения этих прямых с противолежащими сторонами, а В2 и С2 – основания соответствующих высот.
  Так как три высоты треугольника пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы    Используя доказанные равенства, получим    Это и означает, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.

Замечания

Рассмотренные чевианы АA1, ВB1 и СC1 изотомически сопряжены чевианам АA2, ВB2 и СC2, а искомая точка H' их пересечения – это точка, изотомически сопряженная ортоцентру H треугольника АВС (см. рис.). Более подробно об этих и других замечательных точках треугольника – см. книгу А.Г. Мякишева "Элементы геометрии треугольника".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 01 (2003 год)
Дата 2003-04-11
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .