Версия для печати
Убрать все задачи

---

На биссектрисе угла A треугольника ABC взята точка A₁ так, что  AA₁ = p - a = (b + c - a)/2, и через точку A₁ проведена прямая l_a, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые l_b и l_c, то треугольник ABC разобьется на части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трех других.

   Решение

---

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что   (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

   Решение

---

Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F'. Для каждой пары соответственных точек A и A' рассмотрим середину X отрезка AA'. Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную F.

   Решение

---

Среди чисел a, b, c есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв a, b, c, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 31303  (#31)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Решить в натуральных числах уравнение  3ⁿ + 55 = m².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31304  (#32)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Решить в натуральных числах уравнение  1 + x + x² + x³ = 2^y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31305  (#33)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

Решить в целых числах уравнение  5x³ + 11y³ + 13z³ = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31306  (#34)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Решить в натуральных числах систему
  a² + b – c = 100,
  a + b² – c = 124.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31307  (#35)

Тема:   [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Разложить на множители выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями