Информация о задаче

Задача 57908

Тема:

[

Композиции движений. Теорема Шаля

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F'. Для каждой пары соответственных точек A и A' рассмотрим середину X отрезка AA'. Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную F.

Решение

Если движение несобственное, то согласно задаче 17.37 оно представляет собой скользящую симметрию относительно некоторой прямой l. В таком случае все точки X лежат на прямой l.
Если движение собственное, то согласно задаче 17.36 оно является либо параллельным переносом на вектор a, либо повротом на угол $\alpha$ , где 0 < $\alpha$ $\le$ 180^o (этот поворот может быть либо по часовой стрелке, либо против). Если движение является переносом на вектор a, то точка X получается из точки A переносом на вектор a/2. Если движение является поворотом на 180^o, то все точки X совпадают с центром поворота. Если движения вляется поворотом на угол $\alpha$ , где 0 < $\alpha$ < 180^o, то точка X получается из точки A повотором на угол $\alpha$ /2 и гомотетией с коэффициентом cos( $\alpha$ /2).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	6
Название	Теорема Шаля
Тема	Композиции движений. Теорема Шаля
задача
Номер	17.037B