ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 1. Метод математической индукции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Храмцов Д.

Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Обозначим через A' , B' , C' точки, симметричные точке I относительно сторон треугольника ABC . Докажите, что если окружность, описанная около треугольника A'B'C' , проходит через вершину B , то ABC = 60o .

Вниз   Решение

Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бадзян А.И.

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a1x + b1,  ...,  x² – anx + bn,  причём все 2n чисел  a1, ..., an, b1, ..., bn  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a1, ..., an, b1, ..., bn  является корнем одного из этих трёхчленов?

ВверхВниз   Решение

Доказать, что  4m − 4n  делится на 3k+1 тогда и только тогда, когда  m − n  делится на 3k.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

  с решениями  

Задача 60289  (#01.016)

Тема:   [ Рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Числа a0, a1,..., an,... определены следующим образом:

a0 = 2,    a1 = 3,        an + 1 = 3an - 2an - 1        (n $\displaystyle \geqslant$ 2).

Найдите и докажите формулу для этих чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60290  (#01.017)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10

Докажите, что для любого натурального n  10n + 18n – 1  делится на 27.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30607  (#01.018)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что  11n+2 + 122n+1  делится на 133 при любом натуральном n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60292  (#01.019)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n  25n+3 + 5n·3n+2  делится на 17.

Прислать комментарий     Решение

Задача 31250  (#01.020)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Доказать, что  n³ + 5n  делится на 6 при любом целом n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .