Задача 52805

Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A.

Подсказка

Из двух хорд данной окружности наименее удаленная от центра имеет большую длину.

Решение

Пусть O — центр данной окружности, MN — хорда, проходящая через точку A перпендикулярно диаметру, содержащему отрезок OA, P — проекция центра O на произвольную хорду XY окружности, проходящую через точку A и отличную от MN.

Поскольку катет OP прямоугольного треугольника APO меньше гипотенузы AO, то хорда XY ближе к центру окружности, чем хорда MN. Следовательно, XY > MN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	470