Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
2024 год
>>
11 класс. Второй день
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Решение
На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и третья точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке M. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AM. Решение
Убрать все задачи
В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?
РешениеСуществует ли такой четырёхугольник, что любая диагональ делит его на два тупоугольных треугольника?
РешениеНа данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и третья точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке M. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AM.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?
Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?
Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно – точный квадрат.
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и
$CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность
радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена
прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и
$\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника,
образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром
окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую
клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая
из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый
– на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно
покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в
чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну
чёрных и белых клеток?
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 67321 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67322 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67323 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67324 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67325 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
