ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Мурашкин М.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



Задача 110202

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Перебор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места k получают баллы ak (числа ak натуральны, и  a1 > a2 > ... > an).  При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a1, ..., an так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111777

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111805

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность (an) задана условиями a1= 1000000 , an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111817

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109854

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Пусть a1, a2, ..., a10 – натуральные числа,  a1 < a2 < ... < a10.  Пусть bk – наибольший делитель ak, меньший ak. Оказалось, что b1 > b2 > ... > b10.
Докажите, что  a10 > 500.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .