Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 7 >> [Всего задач: 33]
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Последовательность
(
an)
задана условиями
a1= 1000000
,
an+1
=n[

]
+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
Пусть a1, a2, ..., a10 – натуральные числа, a1 < a2 < ... < a10. Пусть bk – наибольший делитель ak, меньший ak. Оказалось, что b1 > b2 > ... > b10.
Докажите, что a10 > 500.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
На острове живут
100
рыцарей и
100
лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно
100
человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 7 >> [Всего задач: 33]