ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Соколов А.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      



Задача 66238

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Периметр треугольника ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Соколов А.

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A0, C0 соответственно. Докажите, что периметр треугольника A0OC0 (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66316

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Соколов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ωA, ωB, ωC, ωD – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через XA произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим XB, XC, XD. Докажите, что  XA + XB + XC + XD = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66830

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,10,11

Автор: Соколов А.

Из центра $O$ описанной окружности Ω треугольника $ABC$ опустили перпендикуляры $OP$ и $OQ$ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $B$.
Докажите, что прямая $PQ$ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон $CB$ и $AB$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65381

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Композиции симметрий ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Соколов А.

Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66559

Тема:   [ Треугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Соколов А.

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .