Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 86]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А1, В1 и С1 точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С, обозначив меньшую через S1, среднюю – S2, а большую – S3. Докажите, что 
где S – площадь треугольника А1В1С1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.
В треугольнике
ABC медианы
AA' ,
BB' и
CC' продлили до
пересечения с описанной окружностью в точках
A0
,
B0
и
C0
соответственно. Известно, что точка
M пересечения
медиан треугольника
ABC делит отрезок
AA0
пополам.
Докажите, что треугольник
A0
B0
C0
– равнобедренный.
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 86]
Все авторы
>>
Емельянов Л.А. 
