ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Толпыго А.К.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 68]      



Задача 66111

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a1 – сумма исходных чисел, a2 – сумма квадратов исходных чисел, a3 – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a5 последовательность убывает  (a1 > a2 > a3 > a4 > a5),  а начиная с a5 – возрастает  (a5 < a6 < a7 < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a5 последовательность возрастает, а начиная с a5 – убывает?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73595

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98219

Темы:   [ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:
  а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
  б) перевернуть четыре фишки, расположенные так:  ××0××  (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
Прислать комментарий     Решение


Задача 98474

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Существует ли такая бесконечная последовательность, состоящая из
  а) действительных
  б) целых
чисел, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, а сумма любых первых подряд идущих  10n + 1  чисел отрицательна при любом натуральном n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108088

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Дана трапеция ABCD, M – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника DCM, если радиус этой окружности равен r.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 68]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .