Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 194]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Алёша задумал натуральные числа $a, b, c$, а потом решил найти такие натуральные $x, y, z$, что $a$ = НОК($x, y), b$ = НОК($x, z), c$ = НОК($y, z$). Оказалось, что такие $x, y, z$ существуют и определены однозначно. Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа $a$ и $b$.
Докажите, что Боря может восстановить $c$.
В турнире участвовали 20 шахматистов. Каждый играл с каждым один раз белыми и один раз чёрными. Обязательно ли найдутся такие два шахматиста, что один из них
выиграл не меньше партий белыми и не меньше партий чёрными, чем другой?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами описанной, вписанной и вневписанной окружностей?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
|
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну белыми фигурами, другую – чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 194]
Все авторы
>>
Френкин Б.Р. 
