Задача 79425

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Найти все пары целых чисел  (x, y),  удовлетворяющих уравнению  x² = y² + 2y + 13.

Решение

  Представим правую часть уравнения в виде  (y + 1)² + 12  и перенесём  (y + 1)²  в левую часть. После этого уравнение можно записать в виде
(x – y – 1)(x + y + 1) = 12.
  Числа  x – y – 1  и  x + y + 1  имеют одинаковую чётность, поэтому оба они должны быть чётными. Следовательно, одно из них равно ±2, а другое – ±6. Из этого легко получаем ответ.

Ответ

(±4, 1),  (±4, –3).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	7
задача
Номер	1