Задача 60755

Темы:    [ Числа Фибоначчи ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Пользуясь результатом задачи 60579, найдите остатки, которые при простом p дают числа F_p и F_p+1 при делении на p.

Решение

Применяя формулу из задачи 60579, находим, что  F_p ≡ 5^(p–1)/2 (mod p),  2F_p+1 ≡ 1 + 5^(p–1)/2 (mod p).  Кроме того,  5^(p–1)/2 ≡ 1 (mod p)  при  p = 10k ± 1  и
5^(p–1)/2 = –1 (mod p)  при  p = 10k ± 3.

Ответ

1 и 0 при  p = 2;  0 и 3 при  p = 5;  1 и 1 при  p = 10k ± 1;  p – 1  и 0 при  p = 10k ± 3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.129