ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115630
Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O – центр вписанной окружности. Известно, что  BC = 24,  MN = 12.
Найдите радиус описанной окружности треугольника BOC.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Точки M и N лежат на окружности с диаметром BC.
  Пусть угол A – острый (рис. слева). Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия  cos∠A = MN/BC = ½.  Значит,  ∠A = 60°,  а  ∠BOC = 120°  (см. задачу 55448).
  По теореме синусов радиус описанной окружности треугольника BOC равен  

  Пусть теперь угол A – тупой (рис. справа). Тогда   cos∠CAN = ½.  Значит, ∠CAN = 60°,  ∠A = 120°,  ∠BOC = 150°.
  Поэтому радиус описанной окружности треугольника BOC равен   = 24.


Ответ

8   или 24.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3380

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .