Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $A_0$ и $C_0$ – середины меньших дуг соответственно $BC$ и $AB$ его описанной окружности. Окружность, проходящая через $A_0$ и $C_0$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $S$, $Q$ и $R$ соответственно (все эти точки различны). Известно, что $PQ\parallel AC$. Докажите, что $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$

   Решение

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

   Решение

Сто сидений карусели расположены по кругу через равные промежутки. Каждое покрашено в жёлтый, синий или красный цвет. Сиденья одного и того же цвета расположены подряд и пронумерованы 1, 2, 3, ... по часовой стрелке. Синее сиденье № 7 противоположно красному № 3, а жёлтое № 7 — красному № 23. Найдите, сколько на карусели жёлтых сидений, сколько синих и сколько красных.

   Решение

Длины сторон треугольника ABC не превышают 1.
Докажите, что  p(1 – 2Rr) ≥ 1,  где p – полупериметр, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?

   Решение

Угол между плоскостями равен α . Найдите площадь ортогональной проекции правильного шестиугольника со стороной 1, лежащего в одной из плоскостей, на другую плоскость.

   Решение

В равностороннем треугольнике ABC провели высоту AH. В треугольнике ABH отметили точку I пересечения биссектрис. В треугольниках ABI, BCI и CAI тоже отметили точки пересечения биссектрис – L, K и J соответственно. Найдите угол KJL.

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 5- Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа x и y таковы, что  2x² – 1 = y¹⁵.  Докажите, что если  x > 1,  то x делится на 5.

Решение

  Далее в решении латинские буквы обозначают целые числа.
  Заметим, что  НОД(t + 1, t² – t + 1)  равен 1 или 3 (это следует из равенства  t² – t + 1 = (t – 2)(t + 1) + 3.
  Аналогично из равенства  t⁴ – t³ + t² – t + 1 = (t³ – 2t² + 3t – 4)(t + 1) + 5  следует, что  НОД(t + 1, t⁴ – t³ + t² – t + 1)  равен 1 или 5.
  Обозначим  t = y⁵,  тогда  t³ + 1 = (t + 1)(t² – t + 1) = 2x².  Так как число  t² – t + 1  нечётно, то либо  t + 1 = 2u², t² – t + 1 = v²,  либо  t + 1 = 6u²,
t² – t + 1 = 3v².  По условию  x > 1,  значит,  t > 1  и  (t – 1)² < t² – t + 1 < t².  Следовательно, равенство  t² – t + 1 = v²  выполняться не может. Поэтому
t + 1 = y⁵ + 1 = 6u².
  С другой стороны,  (y⁵ + 1) – (y³ + 1) = y³(y – 1)(y + 1)  делится на  (y – 1)y(y + 1)  и поэтому делится на 3. Таким образом,  y³ + 1  кратно 3.
  Положим  z = y³,  тогда  z⁵ + 1 = (z + 1)(z⁴ – z³ + z² – z + 1) = 2x².  Если  z⁴ – z³ + z² – z + 1  делится на 5, то все доказано. В противном случае множители в средней части равенства взаимно просты. Поскольку  z⁴ – z³ + z² – z + 1  нечётно,  z + 1 = 2a²,  z⁴ – z³ + z² – z + 1 = b².  Но так как  z ≡ –1 (mod 3),  то
z⁴ – z³ + z² – z + 1 ≡ 2 (mod 3)  и не может быть полным квадратом. Противоречие.

Источники и прецеденты использования