Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

   Решение

Основанием пирамиды служит параллелограмм, соседние стороны которого равны 9 и 10, а одна из диагоналей равна 11. Противоположные боковые рёбра равны и каждое из больших рёбер равно 10 . Найдите объём пирамиды.

   Решение

а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?
б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.

   Решение

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

   Решение

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.

   Решение

Определить коэффициенты, которые будут стоять при x¹⁷ и x¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении

   Решение

Темы:    [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?

Решение

  Это нетрудно сделать при  N = 3.  Так как любая комбинация из первых трёх цифр встречается ровно по 1000 раз, то посмотрев эти цифры у всех, кроме Корейко, Бендер будет знать их и у Корейко. Далее достаточно посмотреть три последние цифры у Корейко.
  Докажем, что при  N < 3  нельзя гарантированно узнать код Корейко К. Для каждой из 6 позиций выберем код, который от К отличается только в этой позиции. Соответствующую цифру в выбранном коде назовём плохой. Пусть Бендеру не повезло, и при первой же проверке не Корейко ему попался выбранный код, причём плохую цифру он не проверил (есть четыре непроверенные позиции, мог попасться код с плохой цифрой на одной из этих позиций). Пусть то же случилось при второй и третьей проверках не Корейко (есть четыре непроверенных позиции, из четырёх выбранных кодов с плохой цифрой на этих местах ранее проверено не более двух, значит, такой код мог попасться). Когда все коды проверены, посмотрим, какие  N < 3  позиций проверены в коде К. Из четырёх непроверенных позиций хотя бы одна совпадает с позицией плохой цифры в однм из трёх проверенных выбранных кодов – кода L. Но если поменять местами L и К, то результаты всех проверок не изменятся. Значит, Бендер не сможет отличить L от К.

Ответ

При  N = 3.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования