Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

   Решение

Основанием пирамиды служит параллелограмм, соседние стороны которого равны 9 и 10, а одна из диагоналей равна 11. Противоположные боковые рёбра равны и каждое из больших рёбер равно 10 . Найдите объём пирамиды.

   Решение

а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?
б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.

   Решение

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

   Решение

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.

Решение

Заметим, что $OA$ касается описанной окружности треугольника $AXY$, так как $$\angle BAO = 90^{\circ} - \angle C = \angle MYC = \angle XYA.$$ Пусть $F$ — точка на окружности, описанной около $ABC$, такая что $AF \perp BC$. Ясно, что \begin{align*} \angle AEF &= \angle AEB + \angle BEF =\\ &= \angle ACB + \angle BAF = \\ &= \angle ACD + \angle DAC =\\ &= \angle ADM = \angle AEM. \end{align*} Получаем, что $E$, $M$ и $F$ лежат на одной прямой. Кроме того, $\angle MEC = \angle FEC = \angle FAC = \angle MYC$, что значит, что $E$, $Y$, $M$ и $C$ лежат на одной окружности. Далее, \begin{align*} \angle AEY &= \angle AEC - \angle YEC =\\ &= 180^{\circ} - \angle ABC - \angle YMC = \\ &= 90^{\circ} - \angle ABC = \angle AXY, \end{align*} т.е. $E$ лежит на описанной окружности треугольника $AXY$. Тогда $OE$ — касательная, так как $OE=OA$ и $OA$ — касательная к окружности $AXY$.

Источники и прецеденты использования