ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116723
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Голубев К.

В равностороннем треугольнике ABC провели высоту AH. В треугольнике ABH отметили точку I пересечения биссектрис. В треугольниках ABI, BCI и CAI тоже отметили точки пересечения биссектрис – L, K и J соответственно. Найдите угол KJL.


Решение 1

  Обозначим через M точку пересечения биссектрис треугольника AHC, а через O – центр треугольника ABC (рис. слева). Точка M из симметрии лежит на биссектрисе угла OBC, то есть точки B, K, M лежат на одной прямой. Из той же симметрии треугольник IMO равнобедренный, то есть  ∠IMO = 30°.
  ∠OAJ = ∠IAJ – ∠IAO = ∠CAJ – ∠CAM = ∠JAM,  поэтому AJ и OJ – биссектрисы углов треугольника AOM. Значит, и MJ – тоже биссектриса его угла. Угол между биссектрисами двух углов треугольника выражается через его третий угол (см. зад. 56832). Углы MAO и BCI в треугольниках AOM и CIB равны, следовательно, углы MJO и BKI между их биссектрисами также равны.
  Значит, точки I, K, M, J лежат на одной окружности, и  ∠BJK = ∠IJK = ∠IMK = ∠OMB – ∠IMO = 45° – 30° = 15°.

           


Решение 2

  ∠IAC = ∠IAH + ∠HAC = 45°.  Поскольку точка I лежит на биссектрисе угла B, AIC – равнобедренный прямоугольный треугольник.
  Пусть вписанная окружность треугольника ABI касается стороны BI в точке P. P, очевидно, – середина отрезка KL (рис. справа). Докажем, что P – также середина отрезка BJ. Отсюда следует, что BKJL – ромб и  ∠KJL = ∠KBL = 30°.
  Пусть  AB = 2,  тогда     а высота BG треугольника ABC равна   .   Как известно (см. зад. 52554),

  Радиус JG вписанной в прямоугольный треугольник AIC окружности равен (см. зад. 56656)

  поэтому     что и требовалось.


Ответ

30°.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .