В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = 120°.  Найдите общую хорду описанной окружности треугольника ABC и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов A и C, если  AC = 1.

   Решение

В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?

   Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

   Решение

На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?

   Решение

Через две точки, лежащие в круге, провести окружность, лежащую целиком в том же круге.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 65]      

Внутри правильной четырёхугольной пирамиды расположена прямая призма KLMNK1L1M1N1 , в основании которой лежит ромб KLMN с углом 60^o при вершине L . Ребро KK1 принадлежит основанию пирамиды, а ребро LL1 – диагонали этого основания. Какой наибольший объём может иметь призма, если диагональ основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна ?

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы принадлежит основанию пирамиды, другая грань – боковой грани пирамиды. Какой наибольший объём может иметь призма, если ребро основания пирамиды равно 2, а высота пирамиды равна 1?

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильной четырёхугольной пирамиды расположена прямая призма ABCDA1B1C1D1 , в основании которой лежит ромб ABCD , в котором BD=AC . Ребро AA1 призмы принадлежит основанию пирамиды, а ребро BB1 – диагонали этого основания. Какой наибольший объём может иметь призма, если ребро основания пирамиды равно 6, а высота пирамиды равна 1?

Прислать комментарий

Решение

Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.

Прислать комментарий

Решение

Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены два шара σ1 и σ2 , касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар σ1 касается граней ABCD , ABB1A1 , ADD1A1 , а шар σ2 касается граней A1B1C1D1 , BCC1B1 , CDD1C1 . Известно, что AB=6- , A1D1 = 6+ , CC1=6 . Найдите расстояние между центрами шаров σ1 и σ2 . Найдите наименьший и наибольший суммарный объём шаров.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 65]