Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 152]

Задача 57331

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

Точки C₁, A₁, B₁ взяты на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC так, что BA₁ = $\lambda$ ^.BC, CB₁ = $\lambda$ ^.CA, AC₁ = $\lambda$ ^.AB, причем 1/2 < $\lambda$ < 1. Докажите, что периметр P треугольника ABC и периметр P₁ треугольника A₁B₁C₁ связаны неравенствами (2 $\lambda$ -1)P < P₁ < $\lambda$ P.

Решение

Возьмем на сторонах AB, BC, CA точки C₂, A₂, B₂ так, что A₁B₂| AB, B₁C₂| BC, C₁A₂| CA (рис.). Тогда A₁B₁ < A₁B₂ + B₂B₁ = (1 - $\lambda$ )AB + (2 $\lambda$ - 1)CA. Аналогично B₁C₁ < (1 - $\lambda$ )BC + (2 $\lambda$ - 1)AB и C₁A₁ < (1 - $\lambda$ )CA + (2 $\lambda$ - 1)BC. Складывая эти неравенства, получаем P₁ < $\lambda$ P.
Ясно, что A₁B₁ + A₁C > B₁C, т. е. A₁B₁ + (1 - $\lambda$ )BC > $\lambda$ ^.CA. Аналогично B₁C₁ + (1 - $\lambda$ )CA > $\lambda$ ^.AB и C₁A₁ + (1 - $\lambda$ )AB > $\lambda$ ^.BC. Складывая эти неравенства, получаем P₁ > (2 $\lambda$ - 1)P.

Прислать комментарий

Задача 57332

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

Решение

а) При переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке некоторые ломаные, образованные сторонами, заменяются прямолинейными отрезками (рис.). Остается заметить, что длина ломаной больше длины отрезка с теми же концами.

б) Построим на сторонах внутреннего многоугольника полуполосы, обращенные наружу; параллельные края полуполос перпендикулярны соответствующей стороне многоугольника (рис.). Обозначим через P ту часть периметра внешнего многоугольника, которая находится внутри этих полуполос. Тогда периметр внутреннего многоугольника не превосходит P, а внешнего больше P.

Прислать комментарий

Задача 57333

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

Внутри треугольника ABC периметра P взята точка O. Докажите, что P/2 < AO + BO + CO < P.

Решение

См. задачи 55149 и 55156.

Прислать комментарий

Задача 57334

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

На основании AD трапеции ABCD нашлась точка E, обладающая тем свойством, что периметры треугольников ABE, BCE и CDE равны. Докажите, что тогда BC = AD/2.

Решение

Достаточно доказать, что ABCE и BCDE — параллелограммы. Достроим треугольник ABE до параллелограмма ABC₁E. Тогда периметры треугольников BC₁E и ABE равны, поэтому равны периметры треугольников BC₁E и BCE. Следовательно, C₁ = C, так как иначе один из треугольников BC₁E и BCE лежит внутри другого и их периметры не могут быть равны. Поэтому ABCE — параллелограмм. Аналогично доказывается, что BCDE — параллелограмм.

Прислать комментарий

Задача 57315

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Неравенства для остроугольных треугольников	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Серов М.

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

Решение

Обозначим длины отрезков так, что a₁ $\leq$ a₂ $\leq$ a₃ $\leq$ a₄ $\leq$ a₅. Если все треугольники, которые можно составить из этих отрезков, не остроугольные, то a₃² $\geq$ a₁² + a₂², a₄² $\geq$ a₂² + a₃² и a₅² $\geq$ a₃² + a₄². Поэтому a₅² $\geq$ a₃² + a₄² $\geq$ (a₁² + a₂²) + (a₂² + a₃²) $\geq$ 2a₁² + 3a₂². Так как a₁² + a₂² $\geq$ 2a₁a₂, то 2a₁² + 3a₂² > a₁² + 2a₁a₂ + a₂² = (a₁ + a₂)². Приходим к неравенству a₅² > (a₁ + a₂)², противоречащему неравенству треугольника.

Прислать комментарий

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 152]