ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55156
Темы:    [ Неравенство треугольника ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин больше половины периметра.


Подсказка

Примените неравенство треугольника.


Решение

Пусть d1, d2, d3 — расстояния от точки M, взятой внутри треугольника со сторонами a, b, c, до вершин этого треугольника. Тогда

d1 + d2 > cd1 + d3 > bd2 + d3 > a.

Сложив почленно эти три неравенства, получим, что

2(d1 + d2 + d3) > a + b + c.

Отсюда следует, что

d1 + d2 + d3 > $\displaystyle {\frac{a+b+c}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3510

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .