Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что  AD = BC.  Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

   Решение

Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный наименьшему углу этого треугольника.

   Решение

Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4 ) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?

   Решение

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.

   Решение

Из отрезков, имеющих длины a, b и c, можно составить треугольник. Доказать, что из отрезков с длинами , , также можно составить треугольник.

   Решение

Докажите, что  p_n+1 ≤ 2²ⁿ + 1,  где p_n – n-е простое число.

   Решение

Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?

   Решение

Докажите, что для любых натуральных m и n хотя бы одно из чисел  ,    не больше  .

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 1]      

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠B = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠PQB = 2∠PCQ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 1]