Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 77]

Задача 103913

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Доказать, что, если угол BAO равен углу DAC, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.

Решение

Так как $\angle$ ABO = ( $\pi$ - $\angle$ AOB)/2 = $\pi$ /2 - $\angle$ ADB, $\angle$ DAC + $\angle$ ADB = $\pi$ /2, что равносильно утверждению задачи (рис.9.1).

$\epsfbox{ris91.eps}$

Рис.9.1

Прислать комментарий

Задача 110758

Темы:	[	Наглядная геометрия	]
Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 3
Классы: 5,6,7,8

Автор: Маркелов С.В.

Определите, с какой стороны расположен руль у изображенного на рисунке автомобиля.

Решение

В зеркалах заднего вида водитель должен видеть дорогу сзади автомобиля. Для этого зеркало со стороны водителя должно располагаться почти перпендикулярно оси автомобиля, а с противоположной стороны – под углом, примерно равным 45^o . Следовательно, у автомобиля на рисунке руль справа.

Прислать комментарий

Задача 110784

Темы:	[	Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Ященко И.В.

Впишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.

Решение

Очевидно, вписать треугольник в полукруг можно двумя способами: либо две вершины треугольника лежат на дуге, а третья на диаметре полукруга, либо, наоборот, две вершины на диаметре, а третья на дуге. Рассмотрим первый случай. Пусть вершины A , B лежат на дуге. Тогда серединный перпендикуляр к AB проходит через центр полукруга. Следовательно, третья вершина совпадает с центром и сторона треугольника равна радиусу полукруга (рис.8.1.1).

Во втором случае высота треугольника не превосходит радиуса полукруга, причем в случае, изображенном на рис.8.1.2, равенство достигается. Следовательно, именно этот треугольник и будет искомым.

Прислать комментарий

Задача 111709

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Биссектриса угла	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Биссектрисы двух углов вписанного четырехугольника параллельны. Докажите, что сумма квадратов двух сторон четырехугольника равна сумме квадратов двух других сторон.

Решение

Прежде всего заметим, что биссектрисы смежных углов четырехугольника не могут быть параллельны, так как сумма этих углов меньше 360^o . Если же параллельны, например, биссектрисы углов A и C четырехугольника ABCD , то + B + = 180^o и B = D . Поскольку четырехугольник вписанный, эти углы — прямые, и AB² + BC² = CD² + DA² .

Прислать комментарий

Задача 111706

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?

Решение

Если число сторон многоугольника нечетно, то каждая его диагональ параллельна какой-то стороне. Если же число сторон равно 2k , то из каждой вершины выходит 2k-3 диагонали, из которых для k-2 существуют параллельные им стороны. Поэтому диагоналей, параллельных сторонам, меньше половины.

Ответ

Нет.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 77]