Страница:
<< 2 3 4 5 6 7
8 >> [Всего задач: 39]
Рассматривается система уравнений:
Докажите, что при некоторых k такая система имеет решение.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Существует ли четырёхугольник
ABCD площади 1 такой, что для любой точки
O внутри него площадь хотя бы одного из треугольников
OAB,
OBC,
OCD,
DOA иррациональна.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
Внутри выпуклого многоугольника
M помещена окружность максимально возможного
радиуса
R (это значит, что внутри
M нельзя поместить окружность большего
радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол
(т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так,
чтобы он не вылезал за пределы многоугольника
M и при этом повернулся на
любой заданный угол). Докажите, что
R1/3.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
Правильный треугольник
ABC разбит на
N выпуклых многоугольников так, что
каждая прямая пересекает не более 40 из них (мы говорим, что прямая
пересекает многоугольник, если они имеют общую точку, например, если прямая
проходит через вершину многоугольника). Может ли быть
N больше миллиона?
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10
|
Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом
,
переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол
.
Дано, что
<
< 180
o. Доказать, что после некоторого
конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же
месте, что и в начале.
Страница:
<< 2 3 4 5 6 7
8 >> [Всего задач: 39]