Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

   Решение

---

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

---

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

   Решение

---

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

   Решение

---

Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
  а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.
  б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.

   Решение

---

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

   Решение

---

На плоскости даны прямая $l$ и точка $A$ вне ее. Найдите геометрическое место инцентров остроугольных треугольников с вершиной $A$, у которых одна сторона лежит на прямой $l$.

   Решение

---

У выпуклого многогранника 2n граней ( n 3 ), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?

   Решение

---

Для каких α существует функция f : , отличная от константы, такая, что

f(α(x+y))=f(x)+f(y);?

   Решение

---

Точка $P$ лежит внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$. Общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PAB$ и $PCD$ пересекаются в точке $Q$, а общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PBC$ и $PAD$ – в точке $R$. Докажите, что $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66952  (#16 [9-11 кл])

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим две окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга внутренним образом в точке $A$. Пусть хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается окружности $\omega$ в точке $K$. Пусть также $O$ – центр $\omega$. Тогда окружность $BOC$ делит отрезок $AK$ пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66953  (#17 [9-11 кл])

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Радикальная ось ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $A_0$ и $C_0$ – середины меньших дуг соответственно $BC$ и $AB$ его описанной окружности. Окружность, проходящая через $A_0$ и $C_0$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $S$, $Q$ и $R$ соответственно (все эти точки различны). Известно, что $PQ\parallel AC$. Докажите, что $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66954  (#18 [10-11 кл])

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ] [ Теорема Птолемея ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Пусть $AM$ – медиана неравнобедренного треугольника $ABC$, $T$ – точка касания вписанной окружности $\omega$ со стороной $BC$, $S$ – вторая точка пересечения $\omega$ с отрезком $AT$. Докажите, что вписанная окружность треугольника $\delta$, образованного прямыми $AM$, $BC$ и касательной к $\omega$ в точке $S$, касается описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66955  (#19 [10-11 кл])

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Точка $P$ лежит внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$. Общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PAB$ и $PCD$ пересекаются в точке $Q$, а общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PBC$ и $PAD$ – в точке $R$. Докажите, что $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66956  (#20 [10-11 кл])

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:

– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.

– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.

Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями