Задача 66223

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Лучкин В., Фадин М.

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

Решение

Рассмотрим точку X', изогонально сопряженную X, и точки U, V, W, симметричные X' относительно AB, AC, BC. Из перпендикулярности прямых x и y следует, что точки U, V лежат на y. Кроме того, прямые XB, XC являются серединными перпендикулярами к отрезкам UW, VW. Следовательно, W лежит на прямых y_b, y_c, то есть совпадает с Y (см. рис.). Таким образом, Y лежит на прямой, симметричной относительно BC изогональному образу прямой x. Чтобы получить искомое ГМТ, надо выколоть из этой прямой точки, для которых y_b и y_c совпадают, то есть точку её пересечения с BC и точку, симметричную A относительно BC.

Ответ

Прямая, симметричная относительно BC изогональному образу прямой x, без двух точек.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	20