ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86102
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.


Решение

  Докажем, что точки X и Y лежат на серединном перпендикуляре к отрезку A'B'. Для этого достаточно проверить, что X и Y равноудалены от A' и B'.

  Первый способ. В треугольниках CA'H и CB'H медианы прямых углов равны половине гипотенузы, поэтому  A'Y = ½ CH = B'Y'.  Аналогично
A'X = ½ AB = B'X.

  Второй способ. Отрезки AB и CH видны из точек A' и B' под прямыми углами, поэтому A' и B' лежат на окружности с диаметром AB и на окружности с диаметром CH. Значит, A' и B' равноудалены от центров X и Y этих окружностей.

Замечания

1. Можно также сослаться на то, что общая хорда двух окружностей перпендикулярна их линии центров.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 68
Год 2005
вариант
Класс 8
задача
Номер 3
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6213
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .