Задача 66345

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, а $A_1$ и $B_1$ – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – середина отрезка $IC$, а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что точки $N$, $B_1$, $A$ и $M$ лежат на одной окружности.

Решение

  Будем использовать стандартные обозначения $a, b, c$ и $p$ для длин сторон и полупериметра треугольника $ABC$.
  Пусть первая вневписанная окружность касается прямой $BC$ в точке $K$. Поскольку $KM$ – медиана прямоугольного треугольника $CKI$, то при повороте на угол
φ = 180° – $\angle C$  прямая $BC$ переходит в прямую $AC$. При этом точка $K$ переходит в $C$, точка $B$ – в $B_1$, а точка $A_1$ – в $A$ (как известно,  $KB = CB_1 = p - a$,  $BA_1 = B_1A = p - c$).  Поэтому  $MA = MA_1$,  $MB = MB_1$.
  Равнобедренные треугольники $A_1MA$ и $B_1MB$ подобны (у обоих углы при вершине $M$ равны φ). Значит,  $\angle MAN = \angle MAA_1 = \angle MB_1B = \angle MB_1N$,  что и требовалось.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	39
Дата	2017/18
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	6