ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65382
Темы:    [ Четырехугольная пирамида ]
[ Сфера, описанная около пирамиды ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA1, BB1, CC1, DD1 на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A1, B1, C1, D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A1, B1, C1, D1 лежат в одной плоскости.


Решение

  Так как AA1 и CC1 – высоты треугольника SAC, точки A, C, A1 и C1 лежат на одной окружности, то есть  SC·SA1 = SA·SC1.  Значит, существует инверсия с центром S, переводящая A1 в C, а C1 в A. Так как  SB·SD1 = SD·SB1,  точки B1 и D1 при этой инверсии перейдут в точки B2 и D2, лежащие на лучах SD и SB соответственно, причём  B2D2 || BD.
  С другой стороны, точки A, C, B2, D2 должны лежать в одной плоскости (как образы точек A1, B1, C1, D1, лежащих на сфере, содержащей S). Но, если прямая B2D2 не лежит в плоскости ABCD, то она скрещивается с AC. Значит, описанная ситуация возможна лишь при  B2 = B  и  D2 = D.  Следовательно, точки A1, B1, C1, D1 лежат в плоскости, являющейся образом сферы SABCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
задача
Класс 10
задача
Номер 10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .