ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64923
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.


Решение

Пусть одна из прямых пересекает BC, CA, AB в точках Xa, Xb, Xc, а другая – в точках Ya, Yb, Yc (см. рис.). Тогда  ∠HYaB = ∠XbHA  и
HXbA = ∠YaHB,  так как стороны этих углов перпендикулярны. Поэтому треугольники HBYa и XbAH подобны. Аналогично подобны треугольники HXaB и YbAH. Значит,  AXb·BYa = AH·BH = AYb·BXa.  С другой стороны, применив теорему Менелая к треугольникам CXaXb, CYaYb и прямой AB, получим  .  Из этих трёх равенств следует, что  XbXc·YcYa = XcXa·YbYc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
тур
задача
Номер 21

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .