Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ остроугольный.

   Решение

В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?

   Решение

Тема:    [ Наибольший треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если периметры треугольников ABO, BCO, CDO и DAO равны, то ABCD — ромб.

Решение

Для определенности можно считать, что AOCO и DOBO. Пусть точки B₁ и C₁ симметричны точкам B и C относительно точки O (рис.). Так как треугольник B₁OC₁ лежит внутри треугольника AOD, то P_AODP_B1OC1 = P_BOC, причем равенство достигается, только если B₁ = D и C₁ = A (см. задачу 9.27, б)). Следовательно, ABCD — параллелограмм. Поэтому AB - BC = P_ABO - P_BCO = 0, т. е. ABCD — ромб.

Источники и прецеденты использования