|
|
 |
Условие
В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?
Решение
Предположим, что такая расстановка чисел существует.
Пусть числа, стоящие в начальном и конечном угловых кубиках равны a и b соответственно. Можно считать, что a < b. Также можно считать, что каждый червяк не заползает в каждый кубик больше одного раза.
Тогда первый червяк должен последовательно проползти через кубики с
числами a, a + 8, a + 16, a + 24, ..., a + 72, ..., b (очевидно он делает больше 10 "ходов"), а второй должен последовательно проползти через кубики с числами a, a + 9, a + 18, a + 27, ..., a + 72, ..., b.
Рассмотрим теперь шахматную раскраску нашего куба. Можно считать, что кубик с числом a – чёрный. Заметим, что соседние по грани кубики должны иметь разные цвета. Значит, кубики с числами a, a + 18, a + 36, ..., a + 72 – чёрные, а кубики с числами a + 8, a + 24, a + 40, ..., a + 72 – белые.
Таким образом, кубик с числом a + 72 должен быть и чёрным, и белым. Противоречие.
Ответ
Не существует.
