Задача 58030

Тема:    [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

а) На сторонах треугольника ABC построены собственно подобные треугольники A₁BC, CAB₁ и BC₁A. Пусть A₂, B₂ и C₂ — соответственные точки этих треугольников. Докажите, что A₂B₂C₂ A₁BC.
б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах треугольника ABC, образуют правильный треугольник.

Решение

а) Пусть H₁ — поворотная гомотетия, переводящая треугольник A₁BC в треугольник CAB₁, H₂ — поворотная гомотетия, переводящая треугольник CAB₁ в треугольник BC₁A, H — поворотная гомотетия, переводящая точки A₁ и C в точки A₂ и C₂. Тогда H₁oH(A₁) = H₁(A) = C₂ = H(C) = HoH₁(A). Поэтому согласно задаче 19.49B1 H₁oH₂ = H₂oH₁, а значит, согласно задаче 19.49B поворотные гомотетии H и H₁ имеют общий центр.
Ясно также, что H₁oH₂(C) = H₁(B) = A = H₂(B) = H₂oH₁(C). Поэтому поворотные гомотетии H₁ и H₂ имеют общий центр. Итак, все три поворотные гомотетии H₁, H₂ и H имеют общий центр. Поэтому H₂oH = HoH₂. Следовательно, H(B) = HoH₂(C) = H₂oH(C) = H₂(C₂) = B. Таким образом, поворотная гомотетия H переводит треугольник A₁BC в треугольник A₂B₂C₂.
б) Эта задача является частным случаем задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	7
Название	Композиции поворотных гомотетий
Тема	Композиции гомотетий
задача
Номер	19.049B2