|
|
 |
Условие
На стороне BC параллелограмма ABCD (∠A < 90°) отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O1, O2 и O3 – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).
Решение 1
Прямые O1O2 и O3O2 – серединные перпендикуляры к отрезкам AT и DT. Значит, ∠AO1O2 = ∠TO1O2 = ∠TBA (поскольку угол TO1A – центральный для описанной окружности треугольника ABT). Аналогично ∠DO3O2 = ∠TCD. Отсюда ∠TO1O2 + ∠TO3O2 = 180°. Итак, точки T, O1, O2, O3 лежат на одной окружности ω (рис. слева).
Треугольники O1TO1 и O1AO2 симметричны относительно прямой O1O2. Значит, описанная окружность α треугольника AO1O2 равна ω. Аналогично описанная окружность δ треугольника DO2O3 также равна ω.
Как известно (см. задачу 78187), ортоцентр H треугольника O1O2O3 лежит на окружностях α и δ, то есть является второй точкой их пересечения. Пусть H' – вторая точка пересечения α с прямой AD. Тогда ∠AH'O2 = 180° – ∠AO1O2 = ∠DO3O2, поэтому H' лежит на δ.
Значит, H' совпадает с H.
Решение 2
Высоты треугольника O1O2O3, опущенные из вершин O1 и O3, параллельны соответственно прямым DT и AT. Пусть H – точка пересечения первой из этих высот со стороной AD (рис. справа). Наша задача – показать, что O3H || AT.
Обозначим через A1, D1 и T1 середины сторон DT, AT и AD треугольника ADT, а через α, δ, τ – его углы при вершинах A, D, T соответственно. Тогда ∠TO1D1 = 180° – ∠ABC = ∠BCD = ∠TO3A1. Значит, прямоугольные треугольники TO1D1 и TO3A1 подобны, и .
Поскольку O1H || D1T1, расстояния от точек O1 и H до прямой D1T1 равны, то есть . Отсюда
или
. Это означает, что O3 и H равноудалены от A1T1, то есть O3H || A1T1.
